Persamaan
Diferensial Eksak Dan Non Eksak
Persamaan Diferensial Eksak
Suatu Persamaan Diferensial ordo satu yang berbentuk
(7) M(x,y)dx
+ N(x,y)dy = 0
disebut Persamaan Diferensial Eksak jika ruas kirinya adalah
diferensial total atau diferensial eksak
(8)
dari suatu fungsi u(x,y).
Maka Persamaan Diferensial (7) dapat ditulis dengan
du = 0.
Dengan pengintegralan akan diperoleh selesaian umum dari (1) yang
berbentuk
(9) u(x,y)
= c.
Dengan membandingkan (7) dan (8) kita mengetahui bahwa (7)
adalah Persamaan Diferensial Eksak jika ada suatu fungsi u(x,y) sedemikian hingga
(10)
Misal M dan N terdifinisikan dan mempunyai turunan par-sial pertama
yang kontinen dalam suatu daerah di bidang xy
yang batas-batasnya berupa kurva tutup yang tidak mempunyai iri-san mandiri
(self-intersections). Maka dari (10) diperoleh
Dengan asumsi kontinuitas, maka dua turunan kedua di atas adalah sama.
Jadi
(11)
Syarat ini bukan hanya perlu tetapi juga cukup untuk Mdx+Ndy menjadi diferensial
total.
Jika (7) eksak, maka fungsi u(x,y)
dapat ditemukan dengan perkiraan atau dengan cara sistematis seperti berikut.
Dari (10a) dengan pengintegralan terhadap x
Diperoleh
(12)
dalam pengintegralan ini, y
dipandang sebagai suatu konstan, dan k(y)
berperan
sebagai konstan integrasi. Untuk menentukan k(y), kita turunkan ¶u/¶y dari (12),
gunakan (10b) untuk mendapatkan dk/dy,
dan integralkan.
Rumus (12) diperoleh dari (10a). Secara sama
kita bisa menggunakan rumus
(10b) untuk mendapatkan rumus (12*) yang mirip dengan (12) yaitu
(12*)
Untuk menentukan l(x) kita turunkan ¶u/¶x dari (12*),
gunakan (10a) untuk
mendapatkan dl/dx, dan
intergralkan.
Contoh 6 Persamaan Diferensial Eksak
Selesaikan
xy’ + y + 4 =
0.
Penyelesaian.
Persamaan di atas ditulis dalam bentuk (7), yaitu
(y+4)dx + xdy
= 0.
Kita lihat bahwa
M = y+4, dan
N = x.
Jadi (11) dipenuhi, sehingga persamaannya adalah eksak.
Dari (12*) diperoleh
Untuk menentukan l(x), rumus
di atas diturunkan terhadap x dan
gunakan rumus
(10a) untuk mendapatkan
Jadi
dl/dx = 4, atau
l = 4x+c*.
Jadi selesaian umum Persamaan Diferensial berbentuk
u = xy+l(x)
= xy+4x+c*
=
konstan.
Pembagian dengan x menghasilkan
y = c/x+4.
Catatan: Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan di atas bisa ditulis menjadi
ydx + xdy =
-4dx.
Ruas kiri adalah diferensial total dari xy, yaitu d(xy),
sehingga jika diintegralkan akan
diperoleh xy = -4x+c, yang
sama dengan penyelesaian dengan menggunakan metode sistematis.
Contoh 7
Selesaikan Persamaan Diferensial Eksak:
2xsin3ydx +
(3x2cos3y+2y)dy = 0.
Penyelesaian.
Dengan (11) terbukti bahwa PDnya eksak.
Dari (12) diperoleh
Jika diturunkan terhadap y
diperoleh
Jadi
Selesaian umumnya adalah u =
konstan atau
Perhatikan!
Metode kita memberikan selesaian dalam bentuk implisit
u(x,y) = c =
konstan,
bukan dalam bentuk eksplisit y =
f(x).
Untuk mengeceknya, kita turunkan u(x,y)
= c secara implisit. Dan dilihat apakah
akan menghasilkan
dy/dx = -M/N atau
Mdx + Ndy = 0,
seperti persamaan semula atau tidak.
Contoh 8. Kasus tidak eksak
Perhatikan Persamaan Diferensial
ydx-xdy=0.
Terlihat bahwa
M=y dan N=-x
Sehingga
Tetapi
Jadi Persamaan Diferensialnya tidak eksak. Dalam kasus demikian
metode kita tidak berlaku: dari (12),
Sehingga Ini harus sama dengan
N=-x.
Hal ini tidak mungkin, karena k(y)
hanya fungsi dari y saja. Jika digunakan (12*)
juga akan menghasilkan hal yang sama. Untuk
menyelesaikan Persamaan Diferensialtak eksak yang
demikian ini diperlukan metode yang lain.
Jika suatu Persamaan Diferensial itu eksak, maka kita bisa
mengubah menjadi tak eksak dengan
membagi dengan suatu fungsi tertentu. Sebagai contoh,
xdx+ydy=0
adalah Persamaan Diferensial Eksak, tetapi dengan membagi dengan y akan diperoleh Persamaan
Diferensial tak eksak
x/ydx+dy=0.
Demikian juga suatu Persamaan Diferensial tak eksak, mungkin
bisa diubah menjadi eksak dengan
dibagi/dikalikan dengan suatu fungsi tertentu (yang cocok). Metode ini
akan dibahas
dalam pasal berikutnya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar